Calcul intégral - formulaire

Stratégie de résolution

Une stratégie exemplifiée tirée des petits bouts de cours pour intégrer une fonction et prendre le chemin le plus court. Devrait être simple, concise et complète pour être utilisée à chaque exercice.

Chercher parmi les cas classiques

Cas 1

si (si alors utiliser formule du cas 2)

Cas 2

Cas 3

Cas 4

Cas 5

Cas 6

  1. Chercher si la fonction a une primitive connue: voir le deck Anki ou le tableau dans le pdf.
  1. Si 2 termes de multiplient, ou la fonction peut être transformée comme une multiplication, tenter une intégration par partie Exemple:
  2. S'il y a une valeur absolue dans une intégrale définie, il faut la découper en plusieurs bouts dans les cas où l'expression à l'intérieure est négative ou positive.

Stratégie à noter:

  • toujours analyser si c'est une fonction pair, avec 2 bornes opposées, permettant de transformer en 2 fois la moitié supérieur (0 à a).
  • toujours analyser si fonction impair, le résultat pourrait valoir zéro ??
  • quand il faut trouver des zéros priligier les mises aux carrés aux racines.
  • toujours chercher à sortir des constantes des intégrales, pour faciliter le travail!
  • Le dénominateur étant irréductible
    • faire apparaitre la dérivée du dénomiteur au numérateur, afin de découper en 2 éléments simples dont le premier sera un ln.
    • la 2ème intégrale peut être résolue en faisant apparaitre la forme soit en transformant vers la forme (Ex: ), soit avec la technique suivante en espérant que soit égal à 1.
    • TODO: faut-il compléter la technique avec plus de complexité, cf slides ??????

Stratégie des logs

Si il y a du log ou du ln(x) alors c'est intéressant de faire une IPP pour prendre la dérivée qui ressemble à 1/x, si c'est du log_a(x) il y aura une constante qui multiplie au dénominateur mais qu'on peut facilement mettre en évidence.

Stratégie dune fonction trigo de puissance impair

--> on a un produit cos et sin, et on a une puissance impair sur une fonction trigo on peut donc utiliser la technique suivante.

Stratégie du +1-1

Consiste à rajouter et retirer la même quantité (constante ou non), afin de découper la fraction en 2 fractions afin d'arriver sur une forme facile. Exemple:

TODO: Exemple avec +x-x

TODO: éléments simples

Intégration par changement de variables

TODO: comment choisir la définition de la variable de remplacement ?

TODO: quels sont les étapes de résolution en résumé ?

Changement de variable pour les intégrales : ma méthode ultime.
Greg du Chemin de la prépa

TODO: est-ce la meilleure vidéo sur le sujet ??

Applications des intégrales

Calcul des surfaces d'intersections entre deux fonctions: Formule générale:

Si les 2 fonctions ont plusieurs zones d'intersections, il faut découper en tranches verticales et prendre les bornes de ses tranches, pour calculer l'aire de chaque intersection puis sommer le tout.

Si les 2 bornes ne sont pas donnés, il suffit de faire pour trouver les 2 points intersections et leur coordonnées X sont les 2 bornes.

Calculs des longueurs des courbes:

Volume du corps de révolution:

Surface d'un corps de révolution:

(La seule formule donnée à l'examen askip)

Rappel: le tableau trigonométrique

Pour retrouver le tableau trigonométrique suivant, voici le trick du prof.

x
= = = =
= = = =
  1. Savoir
  2. Numéroter de 0 à 4 la première ligne
  3. Numéroter de 4 à 0 la deuxième ligne
  4. Appliquer une racine carrée puis une division par deux à chaque case
  5. Remplir par coeur la ligne du tan

Ensuite pour c'est la fonction réciproque donc on sait par ex. que

Autres trucs par coeur de trigo: